2021-11-23
Точка $M$ лежит на стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$. Вокруг треугольников $ABM$ и $CBM$ описываются окружности. При каком положении точки $M$ площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?
Решение:
Пусть $O$ и $O_{1}$ - центры описанных окружностей треугольников $ABM$ и $CBM$. Общей частью указанных кругов является объединение двух сегментов с общей хордой $BM$.
Поскольку
$\angle BOM=2\angle BAC,~\angle BO_{1}M=2\angle BCA,$
то величины углов $BOM$ и $BO_{1}M$ постоянны. Поэтому площадь каждого из сегментов тем меньше, чем меньше хорда $BM$. Следовательно, площадь общей части кругов минимальна, когда $BM$ - высота треугольника $ABC$.