2021-11-23
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника меньше $a$. Докажите, что его площадь меньше $a^{2}$.
Решение:
Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ - соответствующие углы выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Тогда
$2S_{ABCD}=S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ABC}+S_{\Delta BCD}+S_{\Delta ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot AB\sin\alpha+\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta+\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\gamma+\frac{1}{2}CD\cdot AD\sin\delta\leq\frac{1}{2}(AD\cdot AB+AB\cdot BC+BC\cdot CD+CD\cdot AD)\lt\frac{1}{2}(a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2})=2a^{2}.$
Следовательно, $S_{ABCD}\lt a^{2}$.