2021-11-23
На плоскости даны прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой $l$ такую точку $M$, для которой расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$, опущенных на стороны $PM$ и $QM$, наименьшее.
Решение:
Пусть $PK$ и $QH$ - высоты треугольника $PQM$. Тогда точки $K$ и $H$ лежат на окружности с диаметром $PQ$. Если эта окружность имеет с прямой $l$ общие точки, то каждая из этих точек является искомой точкой $M$, поскольку в этом случае расстояние между основаниями указанных высот равно 0; точки $K$ и $H$ совпадают с $M$.
Предположим, что указанная окружность не имеет общих точек с прямой $l$. Поскольку искомая точка $M$ в этом случае лежит вне окружности, то угол $PMQ$ - острый (см. задачу 5370). Треугольники $KMH$ и $PMQ$ подобны (по двум углам) с коэффициентом $\cos\angle PMQ$. Поэтому $KH=PQ\cdot\cos\angle PMQ$. Следовательно, отрезок $KH$ - наименьший, если угол $PMQ$ - наибольший.
Таким образом, задача сводится к построению на прямой $l$ такой точки $M$, для которой угол $PMQ$ - наибольший. Рассмотрим меньшую из двух окружностей, проходящих через точки $P$ и $Q$ и касающихся прямой $l$ (см. задачу 3919). Тогда точка касания есть искомая точка $M$.
Действительно, если $M_{1}$ - произвольная точка прямой $l$, отличная от $M$, а $D$ - точка пересечения отрезка $PM_{1}$ с построенной окружностью, то
$\angle PM_{1}Q\lt\angle PDQ=\angle PMQ.$