2021-11-23
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна $h$. Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
Решение:
Пусть $CD=h$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$. Обозначим $AD=x$. Тогда
$DB=\frac{CD^{2}}{AD}=\frac{h^{2}}{x},~AC^{2}=h^{2}+x^{2},~BC^{2}=h^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}.$
Если $M$ - середина большего катета $BC$, то
$AM^{2}=AC^{2}+CM^{2}=h^{2}+x^{2}+\frac{1}{4}\left(h^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}\right)=\frac{1}{4}\left(4x^{2}+5h^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}\right)=\frac{5h^{2}}{4}+\frac{1}{4}\left(4x^{2}+\frac{h^{4}}{x^{2}}\right)\geq\frac{5h^{2}}{4}+\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{4x^{2}\cdot\frac{h^{4}}{x^{2}}}=\frac{5h^{2}}{4}+h^{2}=\frac{9h^{2}}{4},$
причём равенство достигается, когда $4x^{2}=\frac{h^{4}}{x^{2}}$, т.е. при $x=\frac{h}{\sqrt{2}}$. В этом случае $BD=\frac{h^{2}}{x}=h\sqrt{2}$, т.е. $BD\gt AD$ и $BC\gt AC$. Следовательно, $BC$ - больший катет.