2021-11-23
При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом $30^{\circ}$ и периметром 6 имеет наибольшую площадь?
Решение:
Пусть высота трапеции равна $h$, а сумма оснований равна $3x$. Тогда средняя линия трапеции равна $\frac{3x}{2}$, большая боковая сторона равна $2h$, а периметр равен $3x+3h=6$. Значит, $x+h=2$.
Пусть $S(h)$ - площадь трапеции. Тогда
$S(h)=\frac{3x}{2}\cdot h=\frac{3}{2}xh\leq\frac{3}{2}\left(\frac{x+h}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2},$
причём равенство достигается при $h=x=1$.