2021-11-23
Даны $n$ точек $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку $M$, для которой $MA_{1}+MA_{2}+\ldots+MA_{n}\geq n$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - диаметрально противоположные точки окружности. Тогда
$MA_{k}+NA_{k}\geq MN=2.$
Складывая почленно эти неравенства для $k=1,2,\ldots,n$, получим, что
$(MA_{1}+MA_{2}+\ldots+MA_{n})+(NA_{1}+NA_{2}+\ldots+NA_{n})\geq2n.$
Поэтому либо
$MA_{1}+MA_{2}+\ldots+MA_{n}\geq n,$
либо
$NA_{1}+NA_{2}+\ldots+NA_{n}\geq n.$