2021-11-23
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки соответственно $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$. Известно, что отрезки $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что сумма $MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}$ не превосходит наибольшей стороны треугольника $ABC$.
Решение:
Поскольку
$\frac{MA_{1}}{AA_{1}}=\frac{S_{\Delta BMC}}{S_{\Delta ABC}},~\frac{MB_{1}}{BB_{1}}=\frac{S_{\Delta AMC}}{S_{\Delta ABC}},~\frac{MC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_{\Delta AMB}}{S_{\Delta ABC}},$
то
$\frac{MA_{1}}{AA_{1}}+\frac{MB_{1}}{BB_{1}}+\frac{MC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_{\Delta BMC}+S_{\Delta AMC}+S_{\Delta AMB}}{S_{\Delta ABC}}=1.$
Пусть $d$ - длина наибольшей стороны треугольника $ABC$. Тогда
$1=\frac{MA_{1}}{AA_{1}}+\frac{MB_{1}}{BB_{1}}+\frac{MC_{1}}{CC_{1}}\geq\frac{MA_{1}}{d}+\frac{MB_{1}}{d}+\frac{MC_{1}}{d}=\frac{MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}}{d}.$
Следовательно, $MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}\leq d$.