2021-11-23
Пусть $AA_{1}$ и $BB_{1}$ - медианы треугольника $ABC$. Докажите, что $AA_{1}+BB_{1}\gt\frac{3}{2}AB$.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Применяя неравенство треугольника к треугольнику $AMB$, получим, что
$AM+MB\gt AB$, или $\frac{2}{3}AA_{1}+\frac{2}{3}BB_{1}\gt AB.$
Следовательно, $AA_{1}+BB_{1}\gt\frac{3}{2}AB$.