Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 55
2014-06-07 
Решить уравнение
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$
в целых числах.
Решение:
Набор чисел $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$ является решением уравнения. Предположим, что уравнение имеет еще одно решение $(x; y; z)$. Тогда правая часть уравнения $x^{2}y^{2}$ делится на 4 (в противном случае $x$ и $y$ - нечетные числа, откуда
$x^{2} \equiv 1 (\mod 4), y^{2} \equiv 1 (\mod 4), x^{2}y^{2} \equiv 1 (\mod 4)$
и либо
$x^{2}+y^{2}+z^{2} \equiv 2 (\mod 4)$
при четном $z$, либо
$x^{2}+y^{2}+z^{2} \equiv 3 (\mod 4)$
при нечетном $z$, т.е. равенство $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$ невозможно). Заметим, что левая часть уравнения $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ делится на 4 только в случае, если каждое из чисел $x, y, z$ является четным (ибо остаток от деления на 4 левой части равен количеству нечетных чисел в наборе $x, y, z$). Поэтому $x = 2x_{1}, y = 2y_{1}, z = 2z_{1}$, причем
$x^{2}_{1}+y^{2}_{1}+z^{2}_{1}=4x^{2}_{1}y^{2}_{1}$.
Правая часть последнего уравнения также делится на 4, откуда с помощью аналогичных рассуждений получаем, что $x_{1} = 2x_{2}, y_{1} = 2y_{2}, z_{1} = 2z_{2}$ и
$x^{2}_{2}+y^{2}_{2}+z^{2}_{2}=16x^{2}_{2}y^{2}_{2}$.
Продолжая подобные рассуждения и далее, получаем последовательность наборов целых чисел
$x_{k}=x/2^{k}, y_{k}=y/2^{k}, z_{k}=z/2^{k}$, где $k \in \mathbf{N}$.
Однако никакое целое число, отличное от нуля, не может делиться на любую степень двойки, поэтому каждое из чисел $x, y, z$ равно нулю. Следовательно, нулевой набор представляет собой единственное решение исходного уравнения.
Решить уравнение
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$
в целых числах.
Решение:
Набор чисел $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$ является решением уравнения. Предположим, что уравнение имеет еще одно решение $(x; y; z)$. Тогда правая часть уравнения $x^{2}y^{2}$ делится на 4 (в противном случае $x$ и $y$ - нечетные числа, откуда
$x^{2} \equiv 1 (\mod 4), y^{2} \equiv 1 (\mod 4), x^{2}y^{2} \equiv 1 (\mod 4)$
и либо
$x^{2}+y^{2}+z^{2} \equiv 2 (\mod 4)$
при четном $z$, либо
$x^{2}+y^{2}+z^{2} \equiv 3 (\mod 4)$
при нечетном $z$, т.е. равенство $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$ невозможно). Заметим, что левая часть уравнения $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ делится на 4 только в случае, если каждое из чисел $x, y, z$ является четным (ибо остаток от деления на 4 левой части равен количеству нечетных чисел в наборе $x, y, z$). Поэтому $x = 2x_{1}, y = 2y_{1}, z = 2z_{1}$, причем
$x^{2}_{1}+y^{2}_{1}+z^{2}_{1}=4x^{2}_{1}y^{2}_{1}$.
Правая часть последнего уравнения также делится на 4, откуда с помощью аналогичных рассуждений получаем, что $x_{1} = 2x_{2}, y_{1} = 2y_{2}, z_{1} = 2z_{2}$ и
$x^{2}_{2}+y^{2}_{2}+z^{2}_{2}=16x^{2}_{2}y^{2}_{2}$.
Продолжая подобные рассуждения и далее, получаем последовательность наборов целых чисел
$x_{k}=x/2^{k}, y_{k}=y/2^{k}, z_{k}=z/2^{k}$, где $k \in \mathbf{N}$.
Однако никакое целое число, отличное от нуля, не может делиться на любую степень двойки, поэтому каждое из чисел $x, y, z$ равно нулю. Следовательно, нулевой набор представляет собой единственное решение исходного уравнения.
