2021-07-28
В треугольнике $ABC$ проведены: $BK$ - медиана, $BE$ - биссектриса, $AD$ - высота. Найдите сторону $AC$, если известно, что прямые $BK$ и $BE$ делят отрезок $AD$ на три равные части и $AB=4$
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - точки пересечения прямых $BK$ и $BE$ с отрезком $AD$, $AM=MN=ND$. Заметим, что точка $N$ не может лежать между $A$ и $M$, т.к. тогда по свойству биссектрисы в прямоугольном треугольнике $ABD$ стороны $AB$ и $BD$ пропорциональны отрезкам $AN$ и $DN$, т.е. $BD=2AB$, т.е. гипотенуза меньше катета, что невозможно. Следовательно, точка $N$ лежит между $D$ и $M$. Тогда
$BD=\frac{1}{2}AB=2,~AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3},$
Поскольку $M$ - середина $AN$, а $K$ - середина $AC$, отрезок $MK$ - средняя линия треугольника $ACN$, значит, $MK\parallel CN$, а т.к. $N$ - середина $DM$ и $CN\parallel BM$, то $CM$ - средняя линия треугольника $DBM$. Следовательно, $C$ - середина $BD$. Тогда $CD=\frac{1}{2}BD=1$ и из прямоугольного треугольника $ACD$ находим, что
$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}.$