2021-07-28
В точках $A$ и $B$ прямой, по одну сторону от неё, восстановлены два перпендикуляра $AA_{1}=a$ и $BB_{1}=b$. Докажите, что точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $A_{1}B$ будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой $AB$ независимо от положения точек $A$ и $B$.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $A_{1}B$, $P$ - её проекция на прямую $AB$. Из подобия треугольников $AMA_{1}$ и $B_{1}MB$ следует, что
$\frac{AM}{MB_{1}}=\frac{AA_{1}}{BB_{1}}=\frac{a}{b}.$
Поэтому $\frac{AM}{AB_{1}}=\frac{a}{a+b}$.
Из подобия треугольников $AMP$ и $AB_{1}B$ следует, что
$\frac{MP}{BB_{1}}=\frac{AM}{AB_{1}}=\frac{a}{a+b}.$
Тогда
$MP=\frac{a\cdot BB_{1}}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.$
Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ зависит только от длин отрезков $AA_{1}$ и $BB_{1}$.