2021-07-28
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$. Найдите $AC$, если $BC=a$, $AB=b$, $\frac{DE}{AC}=k$.
Решение:
Обозначим $\angle ABC=\alpha$. Если $\alpha\lt90^{\circ}$, то треугольники $EDB$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $\cos\alpha$ (см. задачу 8109), т.е. $\cos\alpha=\frac{DE}{AC}=k$. Тогда по теореме косинусов
$AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}-2BA\cdot BC\cdot\cos\alpha=b^{2}+a^{2}-2abk.$
Если $\alpha\gt90^{\circ}$, то треугольники $EDB$ и $CBA$ подобны с коэффициентом $(-\cos\alpha)$, т.е. $-\cos\alpha=\frac{DE}{AC}=k$. Тогда
$AC^{2}=a^{2}+b^{2}+2abk.$