2021-07-28
В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB=BC)$ на высоте $BD$ как на диаметре построена окружность. Через точки $A$ и $C$ к окружности проведены касательные $AM$ и $CN$, продолжения которых пересекаются в точке $O$. Найдите отношение $\frac{AB}{AC}$, если $\frac{OM}{AC}=k$ и высота $BD$ больше основания $AC$.
Решение:
Поскольку $BD\gt AC$, то точки $O$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Пусть $Q$ - центр окружности. Обозначим $AD=DC=a$, $QD=r$. Тогда
$AM=AD=a,~OM=kAC=2ak,$
$AO=OM-AM=2ak-a=(2k-1)a.$
Из подобия треугольников $ODA$ и $OMQ$ находим, что $\frac{OD}{AD}=\frac{OM}{QM}$. Поэтому
$OD=\frac{OM\cdot AD}{QM}=\frac{2ka\cdot a}{r}=\frac{2ka^{2}}{r}.$
По теореме Пифагора
$AO^{2}=AD^{2}+OD^{2}$, или $(2k-1)^{2}a^{2}=a^{2}+\frac{4k^{2}a^{2}}{r^{2}}.$
Отсюда находим, что $r^{2}=\frac{a^{2}k}{k-1}$. Тогда
$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{4r^{2}+a^{2}}=\sqrt{\frac{4a^{2}k}{k-1}+a^{2}}=a\sqrt{\frac{5k-1}{k-1}}.$
Следовательно, $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5k-1}{k-1}}$.