2021-07-28
В треугольнике $ABC$ перпендикуляр, проходящий через середину стороны $AB$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $M$, причём $\frac{MC}{MB}=\frac{1}{5}$. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны $BC$, пересекает сторону $AC$ в точке $N$, причём $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно, $K$ - точка пересечения прямых $PN$ и $AB$. Через точку $C$ проведём прямую, параллельную $AB$, до пересечения с прямой $PN$ в точке $T$. Обозначим $MC=x$, $AQ=a$. Тогда $CP=PB=2x$, $BQ=a$.
Из равенства треугольников $KPB$ и $TPC$ следует, что $CT=KB$, а из подобия треугольников $KNA$ и $TNC$ -
$\frac{KA}{CT}=\frac{NA}{NC}=\frac{1}{2}.$
Поэтому $KA=AB=2a$.
Из подобия треугольников $MBQ$ и $KBP$ следует, что
$\frac{PB}{QB}=\frac{KB}{MB}$, или $\frac{2x}{a}=\frac{4a}{5x}.$
Отсюда находим, что $a^{2}=\frac{5x^{2}}{2}$. По теореме Пифагора
$MQ=\sqrt{MB^{2}-QB^{2}}=\sqrt{25x^{2}-\frac{5x^{2}}{2}}=\frac{3x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.$
Поэтому
$tg\angle B=\frac{MQ}{QB}=\frac{\frac{3x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{\frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}=3.$
Пусть $AF$ - высота треугольника $ABC$. Тогда $AF$ - средняя линия треугольника $KPB$. Поэтому $BF=FP=x$. Тогда
$AF=\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{4a^{2}-x^{2}}=\sqrt{10x^{2}-x^{2}}=3x.$
Следовательно,
$tg\angle ACB=\frac{AF}{FC}=\frac{3x}{3x}=1,~\angle ACB=45^{\circ}.$
Тогда
$tg\angle BAC=tg(180^{\circ}-\angle B-\angle A)=-tg(\angle A+\angle B)=-\frac{1+3}{1-3}=2.$