2021-07-28
Равнобедренные треугольники $ABC$ $(AB=BC)$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ $(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})$ подобны и $AC:A_{1}C_{1}=5:\sqrt{3}$. Вершины $A_{1}$ и $B_{1}$ расположены соответственно на сторонах $AC$ и $BC$, а вершина $C_{1}$ - на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, причём $A_{1}B_{1}$ перпендикулярно $BC$. Найдите угол $ABC$.
Решение:
Пусть $A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=x$, $\angle ACB=\alpha$. Тогда
$\angle C_{1}A_{1}C=\angle C_{1}A_{1}B_{1}+\angle B_{1}A_{1}C=\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},$
$A_{1}C=\frac{A_{1}B_{1}}{\sin\angle A_{1}CB_{1}}=\frac{x}{\sin\alpha},~C_{1}A_{1}=2A_{1}B_{1}\cos\alpha=2x\cos\alpha,$
$AA_{1}=C_{1}A_{1}\cos\angle A_{1}AB=2x\cos\alpha\cos\alpha=\frac{2x\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha},$
$AC=\frac{5A_{1}C_{1}}{\sqrt{3}}=\frac{10x\cos\alpha}{\sqrt{3}}.$
Поскольку $AC=AA_{1}+A_{1}C$, то
$\frac{10x\cos\alpha}{\sqrt{3}}=\frac{2x\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}+\frac{x}{\sin\alpha}~\Leftrightarrow~\frac{10\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{3}}=2\cos^{2}\alpha+1~\Leftrightarrow~2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{10}{\sqrt{3}}\sin\alpha\cos\alpha~\Leftrightarrow~\sin^{2}\alpha-\frac{10}{\sqrt{3}}\sin\alpha\cos\alpha+3\cos^{2}\alpha=0~\Leftrightarrow~\sqrt{3}tg^{2}\alpha-10tg\alpha+3\sqrt{3}=0.$
Отсюда находим, что $tg\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $tg\alpha=3\sqrt{3}$. Второе решение не удовлетворяет условию задачи, т.к. угол $\alpha$ меньше $45^{\circ}$ (точка $C_{1}$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B)$. Следовательно,
$\alpha=30^{\circ},~\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha=120^{\circ}.$