2021-07-28
В равнобедренную трапецию $ABCD$ $(BC\parallel AD)$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся основания $AD$ в точке $P$ и пересекающая отрезок $BP$ в точке $Q$ такой, что $PQ=3BQ$. Найдите углы и площадь трапеции.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $M$ - точка касания со стороной $AB$, $K$ - со стороной $BC$. Обозначим $BQ=x$. Тогда
$PQ=3x,~BP=4x,~BM^{2}=BP\cdot BQ=4x^{2}.$
Отсюда следует, что $BM=2x$, $BK=BM=2x$.
По теореме Пифагора
$BP^{2}=BK^{2}+KP^{2},~\mbox{или}~16x^{2}=4x^{2}+4R^{2}.$
Отсюда следует, что $x=\frac{R}{\sqrt{3}}$. Из прямоугольного треугольника $BOA$ находим, что
$AM=\frac{MO^{2}}{BM}=\frac{R^{2}}{2x}=\frac{3x}{2},~\mbox{т.е.}~AM\lt BM.$
Поэтому $BC$ - большее основание трапеции $ABCD$.
$AB=AM+MB=\frac{3x}{2}+2x=\frac{7x}{2}.$
Пусть $F$ - проекция точки $B$ на прямую $AD$. Тогда
$\sin\angle BAF=\frac{BF}{AB}=\frac{2R}{\frac{7x}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{7},$
$\cos\angle DAB=-\frac{1}{7},~tg\angle DAB=-4\sqrt{3}.$
Поскольку трапеция $ABCD$ - описанная и равнобедренная, то её средняя линия равна боковой стороне. Следовательно,
$S_{ABCD}=AB\cdot BF=\frac{7x}{2}\cdot2R=7xR=\frac{7R^{2}}{\sqrt{3}}.$