2021-07-28
Точка $O$ - центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию $ABCD$ $(BC\parallel AD)$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $CD$ в точке $K$. Найдите углы и площадь трапеции, если $AO=5$, $OK=3$.
Решение:
Поскольку $DO$ - биссектриса треугольника $ADK$, то
$\frac{AD}{DK}=\frac{AO}{OK}=\frac{5}{3}.$
Пусть $AD=5x$, $DK=3x$. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $M$. Тогда $AK$ - биссектриса равнобедренного треугольника $AMD$. Поэтому $\frac{AM}{MK}=\frac{AD}{DK}$.
Пусть $AM=MD=y$. Тогда
$MK=y-3x,~\frac{y}{y-3x}=\frac{5x}{3x}=\frac{5}{3}.$
Отсюда находим, что $y=\frac{15x}{2}$.
Пусть точка $P$ - середина $AD$. Обозначим $\angle ADC=\alpha$. Тогда
$\cos\alpha=\frac{PD}{MD}=\frac{\frac{5x}{2}}{\frac{15x}{2}}=\frac{1}{3}.$
Из треугольника $ADK$ по теореме косинусов находим, что
$AK^{2}=AD^{2}+DK^{2}-2AD\cdot DK\cos\angle ADK$, или $64=25x^{2}+9x^{2}-2\cdot5x\cdot3x\cdot\frac{1}{3}.$
Отсюда находим, что $x=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Радиус вписанной окружности равен:
$OP=PDtg\frac{\alpha}{2}=\frac{5x}{2\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}.$
Если $BQ$ - высота трапеции, то
$AB=\frac{BQ}{\sin\alpha}=\frac{2OP}{\sin\alpha}=\frac{10}{\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}},$
а т.к. отрезок $AB$ равен средней линии трапеции, то
$S_{ABCD}=AB\cdot BQ=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{10}{\sqrt{3}}=25\sqrt{2}.$