2021-07-28
В ромб $ABCD$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся стороны $AD$ в точке $M$ и пересекающая отрезок $MC$ в точке $N$ такой, что $MN=2NC$. Найдите углы и площадь ромба.
Решение:
Обозначим $CN=x$. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей ромба (центр вписанной окружности), $P$ - точка касания окружности со стороной $CD$, $F$ - со стороной $AB$. Тогда
$CP^{2}=CN\cdot CM=x\cdot3x=3x^{2}.$
Поэтому $CP=x\sqrt{3}$.
Рассмотрим треугольник $FPC$. Его сторона $PF$ проходит через точку $O$,
$PF=2R,~FC=CM=3x,~PC=x\sqrt{3},~\angle FPC=90^{\circ}.$
По теореме Пифагора
$FC^{2}=FP^{2}+PC^{2}$, или $9x^{2}=4R^{2}+3x^{2}.$
Отсюда находим, что $x=\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Если $\angle OCP=\alpha$, то
$tg\alpha=\frac{OP}{PC}=\frac{R}{x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}},~OC=\frac{OP}{\sin\alpha}=R\sqrt{3},~OD=OCtg\alpha=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$
Следовательно,
$S_{ABCD}=2OC\cdot OD=3R^{2}\sqrt{2}.$