2021-07-28
Точка $O$ - центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ $(AB=BC)$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $BC$ в точке $M$. Найдите углы и площадь треугольника $ABC$, если $AO=3$, $OM=\frac{27}{11}$.
Решение:
Поскольку $CO$ - биссектриса треугольника $ACM$, то
$\frac{CA}{CM}=\frac{AO}{OM}=\frac{11}{9}.$
Пусть $AC=11x$. Тогда $MC=9x$. Поскольку $AM$ - биссектриса треугольника $BAC$, то $\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}$. Если $AB=BC=y$,
$\frac{y}{11x}=\frac{y-9x}{9x},~\mbox{или}~9y=11y-99x.$
Отсюда находим, что $y=\frac{99x}{2}$.
Если $P$ - середина $AC$, то
$\cos\angle BAC=\cos\angle BCA=\frac{PC}{BC}=\frac{\frac{11x}{2}}{\frac{99x}{2}}=\frac{1}{9}.$
Из треугольника $ACM$ По теореме косинусов находим, что
$AM^{2}=CA^{2}+CM^{2}-2CA\cdot CM\cos\angle ACB,$
или
$\left(\frac{60}{11}\right)^{2}=(11x)^{2}+(9x)^{2}-2\cdot11x\cdot9x\cdot\frac{1}{9}.$
Из этого уравнения находим, что $x^{2}=\frac{20}{121}$. Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CA\cdot CB\cdot\sin\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot11x\cdot\frac{99x}{2}\cdot\frac{4\sqrt{5}}{9}=121\sqrt{5}x^{2}=20\sqrt{5}.$