2021-07-22
На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Докажите, что разность расстояний от этой точки до прямых, содержащих боковые стороны треугольника, равна высоте, опущенной на боковую сторону.
Решение:
Первый способ. Пусть точка $M$ лежит на продолжении за точку $C$ основания $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, $P$ и $Q$ - проекции точки $M$ на прямые $AC$ и $AB$ соответственно, $CD$ - высота треугольника $ABC$. Через точку $M$ проведём прямую, параллельную $AB$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $N$. Тогда треугольник $NCM$ также равнобедренный. Если $CE$ - его высота, то точки $D$, $C$ и $E$ лежат на одной прямой и $CE=MP$. Следовательно,
$MQ-MP=DE-CE=CD.$
Второй способ. Пусть точка $M$ лежит на продолжении за точку $C$ основания $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, $P$ и $Q$ - проекции точки $M$ на прямые $AC$ и $AB$ соответственно, $CD$ - высота треугольника $ABC$. Тогда
$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta ABM}-S_{\Delta ACM},$
или
$\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AB\cdot MQ-\frac{1}{2}AC\cdot MP,$
а т.к. $AC=AB$, то из полученного равенства следует, что $CD=MQ-MP$.