2021-07-22
Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $R$. Точки $K$, $M$ и $N$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $MN=\frac{BC\cdot AP}{2R}$.
Решение:
Из точек $M$ и $N$ отрезок $AP$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AP$. По теореме синусов из треугольников $AMN$ и $ABC$ получаем, что
$\sin\angle BAC=\sin\angle MAN=\frac{MN}{AP},~\sin\angle BAC=\frac{BC}{2R},$
поэтому $\frac{MN}{AP}=\frac{BC}{2R}$. Следовательно, $MN=\frac{BC\cdot AP}{2R}$.