2021-07-22
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что площадь треугольника $ODC$ ($O$ - точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников $BOC$ и $AOD$. Докажите, что $ABCD$ - трапеция или параллелограмм.
Решение:
Из условия задачи следует, что
$\frac{S_{\Delta ODC}}{S_{\Delta BOC}}=\frac{S_{\Delta AOD}}{S_{\Delta ODC}}.$
В то же время
$\frac{S_{\Delta ODC}}{S_{\Delta BOC}}=\frac{DO}{OB},~\frac{S_{\Delta AOD}}{S_{\Delta ODC}}=\frac{AO}{OC},$
поэтому $\frac{OD}{OB}=\frac{AO}{OC}$. Значит, треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны. Следовательно, $\angle BCO=\angle DAO$. Поэтому $BC\parallel AD$.