2021-07-22
Дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle C=\angle B=90^{\circ}$. На стороне $AD$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что $BM\cdot MC=AB\cdot CD$.
Решение:
Поскольку $\angle AMD=90^{\circ}$, то
$\angle AMB+\angle CMD=90^{\circ},$
поэтому $\angle CMD=\angle BAM$. Значит, прямоугольные треугольники треугольники $CMD$ и $BAM$ подобны. Следовательно,
$\frac{CD}{BM}=\frac{CM}{AB},~\mbox{или}~BM\cdot MC=AB\cdot CD.$