2021-07-22
Через произвольную точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые параллельные сторонам треугольника. При этом треугольник разбивается на три параллелограмма и три треугольника. Докажите, что произведение площадей параллелограммов в восемь раз больше произведения площадей треугольников.
Решение:
Докажем сначала следующее утверждение. Пусть точка $M$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, а прямые, проведённые через эту точку параллельно сторонам $AB$ и $AC$, отсекают от треугольника $ABC$ треугольники с площадями $S_{1}$ и $S_{2}$. Тогда площадь оставшегося параллелограмма равна $2\sqrt{S_{1}S_{2}}$.
Если указанные прямые пересекают стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ и при этом $S_{\Delta CQM}=S_{1}$ и $S_{\Delta BPM}=S_{2}$, то
$\frac{\frac{1}{2}S_{APMQ}}{S_{2}}=\frac{S_{\Delta APM}}{S_{2}}=\frac{AP}{PB}=\frac{QM}{PB}=\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S_{2}}},$
откуда находим, что
$S_{APMQ}=2\sqrt{S_{1}S_{2}}.$
Пусть теперь $S_{1}$, $S_{2}$ и $S_{3}$ - площади треугольников, на которые разбивают данный треугольник три прямые, указанные в условии задачи. Тогда по доказанному площади параллелограммов равны $2\sqrt{S_{1}S_{2}}$, $2\sqrt{S_{2}S_{3}}$ и $2\sqrt{S_{1}S_{3}}$. Следовательно, произведение этих площадей равно $8S_{1}S_{2}S_{3}$.