Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 205
2014-06-07 
На плоскости расположены непересекающиеся круги, каждый из которых касается по меньшей мере шести из остальных кругов. Доказать, что множество кругов бесконечно.
Решение:
Допустим, что множество кругов конечно. Тогда круг с центром О и наименьшим радиусом $r$ касается шести кругов с центрами $O_{1}, \cdots, O_{6}$ (расположенными в порядке обхода вокруг точки О по часовой стрелке; см. рис Задача по математике 203) и радиусами $r_{1}, \cdots , r_{6}$ соответственно. В треугольнике $O_{1}OO_{2}$ сторона $O_{1}O_{2} = r_{1} + r_{2}$ наибольшая, откуда $\angle O_{1}OO_{2} \geq 60^{\circ}$. Аналогично получаем, что $\angle O_{2}OO_{3} \geq 60^{\circ}, \cdots , \angle O_{6}OO_{1} \geq 60^{\circ}$. Но сумма перечисленных шести углов равна $360^{\circ}$, поэтому каждый из них равен $60^{circ}$ и каждый из остальных углов треугольников $O_{1}OO_{2}, O_{2}OO_{3}, \cdots , O_{6}OO_{1}$ (не превосходящий $60^{\circ}$) также равен $60^{\circ}$, т. е. все эти треугольники равносторонние, откуда $r = r_{1} = \cdots = r_{6}$. Поскольку круг с центром $O_{1}$, например, также имеет наименьший радиус, то к нему применимы те же рассуждения, в силу которых он касается некоторого круга того же радиуса с центром $O_{7} \neq O$, лежащим на прямой $OO_{1}$. Аналогично, последний круг также касается некоторого круга того же радиуса с центром $O_{в} \neq O_{1}$, лежащим на той же прямой, и т. д. Таким образом, множество кругов бесконечно, а утверждение задачи верно.
На плоскости расположены непересекающиеся круги, каждый из которых касается по меньшей мере шести из остальных кругов. Доказать, что множество кругов бесконечно.
Решение:
Допустим, что множество кругов конечно. Тогда круг с центром О и наименьшим радиусом $r$ касается шести кругов с центрами $O_{1}, \cdots, O_{6}$ (расположенными в порядке обхода вокруг точки О по часовой стрелке; см. рис Задача по математике 203) и радиусами $r_{1}, \cdots , r_{6}$ соответственно. В треугольнике $O_{1}OO_{2}$ сторона $O_{1}O_{2} = r_{1} + r_{2}$ наибольшая, откуда $\angle O_{1}OO_{2} \geq 60^{\circ}$. Аналогично получаем, что $\angle O_{2}OO_{3} \geq 60^{\circ}, \cdots , \angle O_{6}OO_{1} \geq 60^{\circ}$. Но сумма перечисленных шести углов равна $360^{\circ}$, поэтому каждый из них равен $60^{circ}$ и каждый из остальных углов треугольников $O_{1}OO_{2}, O_{2}OO_{3}, \cdots , O_{6}OO_{1}$ (не превосходящий $60^{\circ}$) также равен $60^{\circ}$, т. е. все эти треугольники равносторонние, откуда $r = r_{1} = \cdots = r_{6}$. Поскольку круг с центром $O_{1}$, например, также имеет наименьший радиус, то к нему применимы те же рассуждения, в силу которых он касается некоторого круга того же радиуса с центром $O_{7} \neq O$, лежащим на прямой $OO_{1}$. Аналогично, последний круг также касается некоторого круга того же радиуса с центром $O_{в} \neq O_{1}$, лежащим на той же прямой, и т. д. Таким образом, множество кругов бесконечно, а утверждение задачи верно.
