Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13328
2023-08-14 
Покажите. что ни у какого равностороннего треугольника, вписанного в эллипс (с неравными осями) или описанного около него, центр не может совпадать с центром эллипса.
Решение:
Если бы центры равностороннего треугольника и описанного около него эллипса совпадали, эллипс и окружность, описанная около данного треугольника, оказались бы концентрическими. Следовательно, четыре точки пересечения эллипса и окружности служили бы вершинами некоторого прямоугольника. Поскольку вершины равностороннего треугольника не могут быть тремя вершинами ни для какого прямоугольника, исходное предположение ложно.
Аналогичное допущение относительно вписанного эллипса означало бы, что каждая хорда, соединяющая точки касания, делилась бы пополам биссектрисой соответствующего внутреннего угла треугольника. Однако последнее возможно только в случае, если каждая вершина треугольника лежит на продолжении одной из главных осей эллипса. Но две вершины описанного треугольника не могут лежать на одной прямой, проходящей через центр эллипса. Следовательно, в правильный треугольник нельзя вписать эллипс, центр которого совпадал бы с центром данного треугольника.
Покажите. что ни у какого равностороннего треугольника, вписанного в эллипс (с неравными осями) или описанного около него, центр не может совпадать с центром эллипса.
Решение:
Если бы центры равностороннего треугольника и описанного около него эллипса совпадали, эллипс и окружность, описанная около данного треугольника, оказались бы концентрическими. Следовательно, четыре точки пересечения эллипса и окружности служили бы вершинами некоторого прямоугольника. Поскольку вершины равностороннего треугольника не могут быть тремя вершинами ни для какого прямоугольника, исходное предположение ложно.
Аналогичное допущение относительно вписанного эллипса означало бы, что каждая хорда, соединяющая точки касания, делилась бы пополам биссектрисой соответствующего внутреннего угла треугольника. Однако последнее возможно только в случае, если каждая вершина треугольника лежит на продолжении одной из главных осей эллипса. Но две вершины описанного треугольника не могут лежать на одной прямой, проходящей через центр эллипса. Следовательно, в правильный треугольник нельзя вписать эллипс, центр которого совпадал бы с центром данного треугольника.
