Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13327
2023-08-14 
При каком значении $a$ график функции $a^{x}$ касается графика функции $log_{a} x$?
Решение:
Функция $y = log_{a} x$ ($a > 0, a \neq 1, x > 0$) обратна к функции $y = a^{x}$. В силу симметрии их графиков относительно прямой $y = x$ мы заключаем, что в случае касания оба графика либо касаются прямой $y = x$, либо перпендикулярны ей. Следовательно, в точке касания выполняются соотношения
$y^{ \prime} = a^{x}ln a = \pm 1, x = a^{x}$.
Решениями этих уравнений будут соответственно $a = e^{ \frac{1}{e}}$ ($x = e$) для знака «+» и $a^{-e}$ ($x = e^{-1}$) для знака «-». Таким образом, график $y = a^{x}$ касается графика $y = log_{a} x$ при $a = e^{ \frac{1}{e}}$ и $a = e^{-e}$.
При каком значении $a$ график функции $a^{x}$ касается графика функции $log_{a} x$?
Решение:
Функция $y = log_{a} x$ ($a > 0, a \neq 1, x > 0$) обратна к функции $y = a^{x}$. В силу симметрии их графиков относительно прямой $y = x$ мы заключаем, что в случае касания оба графика либо касаются прямой $y = x$, либо перпендикулярны ей. Следовательно, в точке касания выполняются соотношения
$y^{ \prime} = a^{x}ln a = \pm 1, x = a^{x}$.
Решениями этих уравнений будут соответственно $a = e^{ \frac{1}{e}}$ ($x = e$) для знака «+» и $a^{-e}$ ($x = e^{-1}$) для знака «-». Таким образом, график $y = a^{x}$ касается графика $y = log_{a} x$ при $a = e^{ \frac{1}{e}}$ и $a = e^{-e}$.
