Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13326
2023-08-14 
Найдите такую область, ограниченную простым замкнутым многоугольником, чтобы для любых двух сторон данного многоугольника существовала бы внутренняя точка, из которой эти стороны были бы видны. Однако при этом ни из одной внутренней точки не должны быть видны все стороны одновременно.
Решение:
I. Разделим каждую сторону равностороннего треугольника $T$, высота которого равна 4, на 4 равные части. Перенумеруем в циклическом порядке от $A_{1}$ до $A_{12}$ все вершины и точки деления, начав из некоторой вершины треугольника $T$. Построим на отрезках $A_{1}A_{2}, A_{5}A_{6}$ и $A_{9}A_{10}$ как на сторонах три равносторонних треугольника, внешних по отношению к $T$, а сами отрезки удалим. Получившийся при этом многоугольник обладает нужным свойством, поскольку каждая пара добавленных сторон видна из некоторой внутренней точки, отстоящей от соответствующей стороны треугольника $T$ не более чем на единичное расстояние. В то же время если бы все добавленные стороны были видны из некоторой точки $P$, то $P$ отстояла бы от каждой из трех сторон $T$ не более чем на 1, что невозможно.
II. Решение, показанное на рисунке, представляет собой стрелообразный многоугольник, стороны которого перенумерованы от 1 до 11. Стороны 3 и 5 пересекаются в точке $Q$. Стороны 8 и 10 пересекаются в точке $P$. Стороны 3 и 5 одновременно видны только из точек, лежащих внутри маленького треугольника, расположенного справа от 0. Стороны 8 и 10 одновременно видны только из точек маленького треугольника, расположенного слева от $P$. Следовательно, ни из одной точки стороны 3, 5, 8 и 10 нельзя увидеть одновременно. С помощью простых проб мы устанавливаем, что каждую пару сторон можно увидеть из некоторой внутренней точки.
Найдите такую область, ограниченную простым замкнутым многоугольником, чтобы для любых двух сторон данного многоугольника существовала бы внутренняя точка, из которой эти стороны были бы видны. Однако при этом ни из одной внутренней точки не должны быть видны все стороны одновременно.
Решение:
I. Разделим каждую сторону равностороннего треугольника $T$, высота которого равна 4, на 4 равные части. Перенумеруем в циклическом порядке от $A_{1}$ до $A_{12}$ все вершины и точки деления, начав из некоторой вершины треугольника $T$. Построим на отрезках $A_{1}A_{2}, A_{5}A_{6}$ и $A_{9}A_{10}$ как на сторонах три равносторонних треугольника, внешних по отношению к $T$, а сами отрезки удалим. Получившийся при этом многоугольник обладает нужным свойством, поскольку каждая пара добавленных сторон видна из некоторой внутренней точки, отстоящей от соответствующей стороны треугольника $T$ не более чем на единичное расстояние. В то же время если бы все добавленные стороны были видны из некоторой точки $P$, то $P$ отстояла бы от каждой из трех сторон $T$ не более чем на 1, что невозможно.
II. Решение, показанное на рисунке, представляет собой стрелообразный многоугольник, стороны которого перенумерованы от 1 до 11. Стороны 3 и 5 пересекаются в точке $Q$. Стороны 8 и 10 пересекаются в точке $P$. Стороны 3 и 5 одновременно видны только из точек, лежащих внутри маленького треугольника, расположенного справа от 0. Стороны 8 и 10 одновременно видны только из точек маленького треугольника, расположенного слева от $P$. Следовательно, ни из одной точки стороны 3, 5, 8 и 10 нельзя увидеть одновременно. С помощью простых проб мы устанавливаем, что каждую пару сторон можно увидеть из некоторой внутренней точки.
