Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13325
2023-08-14 
Докажите, что диофантово уравнение $5^{x} + 2 = 17^{y}$ не имеет решений.
Решение:
Из равенства
$(3 \cdot 2 - 1)^{x} + 2 = (3 \cdot 6 - 1)^{y}$
находим, что
$(-1)^{x} + 2 = (-1)^{y} + 3k$,
откуда ясно, что у должно быть четным. С другой стороны, из равенства $5^{x} + 2 = (5 \cdot 3 + 2)^{y}$ видно, что $2^{y} - 2$ делится на 5, а значит, $y - 1$ делится на 4; откуда следует, что $y$ нечетно. Полученное противоречие и доказывает нужное утверждение.
Докажите, что диофантово уравнение $5^{x} + 2 = 17^{y}$ не имеет решений.
Решение:
Из равенства
$(3 \cdot 2 - 1)^{x} + 2 = (3 \cdot 6 - 1)^{y}$
находим, что
$(-1)^{x} + 2 = (-1)^{y} + 3k$,
откуда ясно, что у должно быть четным. С другой стороны, из равенства $5^{x} + 2 = (5 \cdot 3 + 2)^{y}$ видно, что $2^{y} - 2$ делится на 5, а значит, $y - 1$ делится на 4; откуда следует, что $y$ нечетно. Полученное противоречие и доказывает нужное утверждение.
