Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13324
2023-08-14 
Квадрат $3 \times 3$ мы называем гномон-магическим, если суммы чисел, составляющих квадраты $2 \times 2$, которые остаются после удаления из исходного квадрата одного из четырех «уголков» (гномонов). равны между собой. Покажите, что у гномон-магического квадрата третьего порядка суммы чисел, стоящих на двух диагоналях, равны между собой. Сохраняется ли это свойство для более высоких порядков?
Решение:
Пусть гномон-магический квадрат имеет вид
$\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{1} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$
В соответствии с определением
$a_{2} + b_{2} + a_{3} + b_{3} = a_{1} + b_{1} + a_{2} + b_{2} = b_{1} + c_{1} + b_{2} + c_{2} = b_{2} + c_{2} + b_{3} + c_{3}$.
Приравнивая первые две суммы, находим, что
$a_{3} + b_{3} = a_{1} + b_{1}$ и $b_{3} - b_{1} = a_{1} - a_{3}$,
приравнивая две вторые суммы, находим, что
$b_{1} + c_{1} = b_{3} + c_{3}$ и $c_{1} - c_{3} = b_{3} - b_{1}$.
Следовательно,
$a_{1} - a_{3} = c_{1} - c_{3}$ и $a_{1} + c_{3} = a_{3} - c_{1}$.
Прибавляя к обеим частям данного равенства $b_{2}$, мы и получаем требуемое утверждение. Это свойство не распространяется на квадраты $4 \times 4$. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим два таких квадрата:
$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
Пример первого квадрата показывает, что если суммы подквадратов $3 \times 3$ равны между собой, то тем не менее суммы диагоналей не обязаны совпадать. Второй пример показывает, что суммы диагоналей не обязаны совпадать даже в том случае, если все суммы подквадратов $2 \times 2$ равны между собой.
Квадрат $3 \times 3$ мы называем гномон-магическим, если суммы чисел, составляющих квадраты $2 \times 2$, которые остаются после удаления из исходного квадрата одного из четырех «уголков» (гномонов). равны между собой. Покажите, что у гномон-магического квадрата третьего порядка суммы чисел, стоящих на двух диагоналях, равны между собой. Сохраняется ли это свойство для более высоких порядков?
Решение:
Пусть гномон-магический квадрат имеет вид
$\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{1} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$
В соответствии с определением
$a_{2} + b_{2} + a_{3} + b_{3} = a_{1} + b_{1} + a_{2} + b_{2} = b_{1} + c_{1} + b_{2} + c_{2} = b_{2} + c_{2} + b_{3} + c_{3}$.
Приравнивая первые две суммы, находим, что
$a_{3} + b_{3} = a_{1} + b_{1}$ и $b_{3} - b_{1} = a_{1} - a_{3}$,
приравнивая две вторые суммы, находим, что
$b_{1} + c_{1} = b_{3} + c_{3}$ и $c_{1} - c_{3} = b_{3} - b_{1}$.
Следовательно,
$a_{1} - a_{3} = c_{1} - c_{3}$ и $a_{1} + c_{3} = a_{3} - c_{1}$.
Прибавляя к обеим частям данного равенства $b_{2}$, мы и получаем требуемое утверждение. Это свойство не распространяется на квадраты $4 \times 4$. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим два таких квадрата:
$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
Пример первого квадрата показывает, что если суммы подквадратов $3 \times 3$ равны между собой, то тем не менее суммы диагоналей не обязаны совпадать. Второй пример показывает, что суммы диагоналей не обязаны совпадать даже в том случае, если все суммы подквадратов $2 \times 2$ равны между собой.
