Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13323
2023-08-14 
Пусть $a, m, n$ - положительные целые числа и $n$, кроме того, нечетно. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} + 1$ не превосходит 2.
Решение:
Пусть $d$ - наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} - 1$. Тогда при некоторых целых $k$ и $r$ выполняются равенства $a^{n} = kd + 1, a^{m} = rd - 1$. Следовательно,
$a^{mn} = (a^{n})^{m} = (kd + 1)^{m} = td + 1$
при некотором целом $t$, и
$a^{mn} = (a^{m})^{n} = (rd - 1)^{n} = ud - 1$
при некотором целом и (напомним, что $n$ нечетно).
Таким образом, $td + 1 = ud - 1$, или $(u - t)d = 2$. Отсюда следует, что $d = 1$ или $d = 2$.
Пусть $a, m, n$ - положительные целые числа и $n$, кроме того, нечетно. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} + 1$ не превосходит 2.
Решение:
Пусть $d$ - наибольший общий делитель чисел $a^{n} - 1$ и $a^{m} - 1$. Тогда при некоторых целых $k$ и $r$ выполняются равенства $a^{n} = kd + 1, a^{m} = rd - 1$. Следовательно,
$a^{mn} = (a^{n})^{m} = (kd + 1)^{m} = td + 1$
при некотором целом $t$, и
$a^{mn} = (a^{m})^{n} = (rd - 1)^{n} = ud - 1$
при некотором целом и (напомним, что $n$ нечетно).
Таким образом, $td + 1 = ud - 1$, или $(u - t)d = 2$. Отсюда следует, что $d = 1$ или $d = 2$.
