ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-08-14   
Покажите. что все целые решения уравнения

$x^{3} + y^{3} + z^{3} = u^{3}$,

где $x, y, z, u$ образуют арифметическую прогрессию, кратны $x = 3, y = 4, z = 5, u = 6$.


Решение:


Пусть $x = a - d, y = a, z = a + d$ и $u = a + 2d$.

Тогда $(a - d)^{3} + a^{З} + (a + d)^{3} = (a + 2d)^{3}$. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение

$2a^{3} - 6a^{2}d - 6ad^{2} - 8d^{3} = 0$,

или после деления на 2

$a^{3} - 3a^{2}d - 3ad^{2} - 4d^{3} = 0$.

Поскольку $a$ и $d$ целые, их отношение $\frac{a}{d} = r$ рационально. Подставляя $rd$ вместо $a$ в уравнение, мы получим

$(rd)^{3} - 3(rd)^{2}d - 3(rd)d^{2} - 4d^{3} = 0$,
$r^{3}d^{3} - 3r^{2}d^{3} - 3rd^{3} - 4d^{3} = 0$.

Разделив уравнение на $d^{3}$ (так как $d \neq 0$), мы находим

$r^{3} - 3r^{2} - 3r - 4 = 0$,
$(r - 4)(r^{2} + r + 1) = 0$.

Приравнивая каждую скобку к нулю, мы находим $r = 4$ и $r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$. Отбросив комплексные корни (поскольку, как сказано выше, $r$ должно быть рациональным), мы получим единственное возможное значение $r = 4$. Поэтому $a = 4d$, так что

$x = a - d = 3d$,
$y = a = 4d$,
$z = a + d = 5d$,
$u = a + 2d = 6d$.