Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13316
2023-08-14 
Мистер Хиппи, заядлый искатель правды, слегка задремал на уроке. Проснувшись, он услышал, как учитель геометрии говорил, что, соединив между собой середины сторон произвольного четырехугольника, можно получить параллелограмм. Мистер Хиппи, дабы никто не превзошел его в умении строить гипотезы «на песке», решил, что если на сторонах произвольного четырехугольника выбрать точки, делящие эти стороны на 3 равные части, а затем такие точки соединить между собой, то при этом снова получится параллелограмм. Какова вероятность того, что мистер Хиппи прав?
Докажите, что, кроме середин, не существует других точек, делящих стороны в заданном отношении $r$ и таких, что, соединяя их между собой, мы получаем параллелограмм независимо от длины сторон исходного четырехугольника.
Решение:
Обозначим, двигаясь по часовой стрелке, координаты последовательных вершин данного четырехугольника через $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ и $(x_{4}, y_{4})$. Тогда точки, делящие стороны четырехугольника в отношении $r$, будут иметь координаты
$A[(x_{2} - x_{1})r + x_{1}, (y_{2} - y_{1})r + y_{1}]$,
$B[(x_{3} - x_{2})r + x_{2}, (y_{3} - y_{2})r + y_{2}]$,
$C[(x_{4} - x_{3})r + x_{3}, (y_{4} - y_{3})r + y_{3}]$,
$D[(x_{1} - x_{4})r + x_{4}, (y_{1} - y_{4})r + y_{4}]$,
Если угловые коэффициенты отрезков $AB$ и $CD$ равны между собой, то
$\frac{(y_{3} - 2y_{2} + y_{1})r + y_{2} - y_{1}}{(x_{3} - 2x_{2} + x_{1})r + x_{2} - x_{1}} = \frac{(y_{1} - 2y_{4} + y_{3})r + y_{1} - y_{3}}{(x_{1} - 2x_{4} + x_{3})r + x_{4} - x_{3}}$.
Поскольку мы рассматриваем такое $r$, что равенство справедливо при всевозможных $(x_{i}, y_{i})$, образующих четырехугольник, то можно проверить его на каком-нибудь одном. Пусть
$(x_{1}, y_{1}) = (0, 0), (x_{2}, y_{2}) = (0, 1), (x_{3}, y_{3}) = (2, 2), (x_{4}, y_{4}) = (1, 0)$.
Тогда
$\frac{1}{2r} = \frac{2r - 2}{-1}$,
откуда $4r^{2} - 4r + 1 = 0$ и $r = \frac{1}{2}$.
Следовательно, в общем случае единственными точками на сторонах четырехугольника, которые всегда приведут к параллелограмму, будут последовательные середины этих сторон. Если мы будем соединять середины сторон не последовательно, а через одну, то получим самопересекающийся четырехугольник.
По-видимому, полупроснувшийся Хиппи спутал слишком длинные для него слова «четырехугольник» и «прямоугольник». Поскольку в его воображении возник прямоугольник, то и утверждение, которое он взял буквально «с потолка», оказалось правильным, так как, если мы выберем на сторонах прямоугольника (или параллелограмма) соответствующие точки, из тех, которые делят его стороны на $n$ равных частей, и соединим их между собой, то при этом получится параллелограмм. Скорее всего, наш Хиппи проделал в уме подобную операцию с квадратом и увидел, что при этом снова получился квадрат, но не высказал такого утверждения, поскольку само слово «квадрат» для него ненавистно. Питая органическое отвращение ко всему общепринятому и пытаясь идти сразу двумя путями, Хиппи, быть может, соединил, не отдавая сам себе в том отчета, две ближайшие точки (из тех, что делят стороны на три равные части) при одной из вершин, затем перешел к наиболее удаленной точке на соседней стороне, затем к ближайшей точке на следующей стороне и т. д., пока он не вернулся в исходную позицию. В этом случае, если мы проведем диагональ через исходную вершину, то получим две пары подобных треугольников, стороны которых относятся как 2: 3, а две стороны в каждой паре параллельны между собой (одной такой стороной в каждой паре служит проведенная диагональ). При этом действительно получится параллелограмм.
Хиппи говорил о точках, которые «делят стороны на 3 равные части», не указывая, каше именно из этих точек надо взять. Поскольку на каждой из сторон имеется по 2 такие точки, то, если мы будем брать последовательные стороны, возможных четырехугольников окажется $2^{4}$ из которых только 2 - параллелограммы. Если мы станем выбирать точки на чередующихся сторонах, то найдется еще $2 (2^{4})$ самопересекающихся четырехугольников. Таким образом, утверждение Хиппи окажется справедливым только в $\frac{1}{24}$ части всех возможных случаев. Если же мы рассмотрим точки, делящие стороны на $n$ равных частей, то соответствующее утверждение окажется справедливым всего лишь в $n - 1$ случае из $3(n -1)^{4}$ и, следовательно, доля верных ответов будет равна $\frac{1}{3} (n - 1)^{3}$.
Мистер Хиппи, заядлый искатель правды, слегка задремал на уроке. Проснувшись, он услышал, как учитель геометрии говорил, что, соединив между собой середины сторон произвольного четырехугольника, можно получить параллелограмм. Мистер Хиппи, дабы никто не превзошел его в умении строить гипотезы «на песке», решил, что если на сторонах произвольного четырехугольника выбрать точки, делящие эти стороны на 3 равные части, а затем такие точки соединить между собой, то при этом снова получится параллелограмм. Какова вероятность того, что мистер Хиппи прав?
Докажите, что, кроме середин, не существует других точек, делящих стороны в заданном отношении $r$ и таких, что, соединяя их между собой, мы получаем параллелограмм независимо от длины сторон исходного четырехугольника.
Решение:
Обозначим, двигаясь по часовой стрелке, координаты последовательных вершин данного четырехугольника через $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ и $(x_{4}, y_{4})$. Тогда точки, делящие стороны четырехугольника в отношении $r$, будут иметь координаты
$A[(x_{2} - x_{1})r + x_{1}, (y_{2} - y_{1})r + y_{1}]$,
$B[(x_{3} - x_{2})r + x_{2}, (y_{3} - y_{2})r + y_{2}]$,
$C[(x_{4} - x_{3})r + x_{3}, (y_{4} - y_{3})r + y_{3}]$,
$D[(x_{1} - x_{4})r + x_{4}, (y_{1} - y_{4})r + y_{4}]$,
Если угловые коэффициенты отрезков $AB$ и $CD$ равны между собой, то
$\frac{(y_{3} - 2y_{2} + y_{1})r + y_{2} - y_{1}}{(x_{3} - 2x_{2} + x_{1})r + x_{2} - x_{1}} = \frac{(y_{1} - 2y_{4} + y_{3})r + y_{1} - y_{3}}{(x_{1} - 2x_{4} + x_{3})r + x_{4} - x_{3}}$.
Поскольку мы рассматриваем такое $r$, что равенство справедливо при всевозможных $(x_{i}, y_{i})$, образующих четырехугольник, то можно проверить его на каком-нибудь одном. Пусть
$(x_{1}, y_{1}) = (0, 0), (x_{2}, y_{2}) = (0, 1), (x_{3}, y_{3}) = (2, 2), (x_{4}, y_{4}) = (1, 0)$.
Тогда
$\frac{1}{2r} = \frac{2r - 2}{-1}$,
откуда $4r^{2} - 4r + 1 = 0$ и $r = \frac{1}{2}$.
Следовательно, в общем случае единственными точками на сторонах четырехугольника, которые всегда приведут к параллелограмму, будут последовательные середины этих сторон. Если мы будем соединять середины сторон не последовательно, а через одну, то получим самопересекающийся четырехугольник.
По-видимому, полупроснувшийся Хиппи спутал слишком длинные для него слова «четырехугольник» и «прямоугольник». Поскольку в его воображении возник прямоугольник, то и утверждение, которое он взял буквально «с потолка», оказалось правильным, так как, если мы выберем на сторонах прямоугольника (или параллелограмма) соответствующие точки, из тех, которые делят его стороны на $n$ равных частей, и соединим их между собой, то при этом получится параллелограмм. Скорее всего, наш Хиппи проделал в уме подобную операцию с квадратом и увидел, что при этом снова получился квадрат, но не высказал такого утверждения, поскольку само слово «квадрат» для него ненавистно. Питая органическое отвращение ко всему общепринятому и пытаясь идти сразу двумя путями, Хиппи, быть может, соединил, не отдавая сам себе в том отчета, две ближайшие точки (из тех, что делят стороны на три равные части) при одной из вершин, затем перешел к наиболее удаленной точке на соседней стороне, затем к ближайшей точке на следующей стороне и т. д., пока он не вернулся в исходную позицию. В этом случае, если мы проведем диагональ через исходную вершину, то получим две пары подобных треугольников, стороны которых относятся как 2: 3, а две стороны в каждой паре параллельны между собой (одной такой стороной в каждой паре служит проведенная диагональ). При этом действительно получится параллелограмм.
Хиппи говорил о точках, которые «делят стороны на 3 равные части», не указывая, каше именно из этих точек надо взять. Поскольку на каждой из сторон имеется по 2 такие точки, то, если мы будем брать последовательные стороны, возможных четырехугольников окажется $2^{4}$ из которых только 2 - параллелограммы. Если мы станем выбирать точки на чередующихся сторонах, то найдется еще $2 (2^{4})$ самопересекающихся четырехугольников. Таким образом, утверждение Хиппи окажется справедливым только в $\frac{1}{24}$ части всех возможных случаев. Если же мы рассмотрим точки, делящие стороны на $n$ равных частей, то соответствующее утверждение окажется справедливым всего лишь в $n - 1$ случае из $3(n -1)^{4}$ и, следовательно, доля верных ответов будет равна $\frac{1}{3} (n - 1)^{3}$.
