Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13314
2023-08-14 
Пусть в единичном квадрате задано 9 произвольных точек. Покажите, что среди всех треугольников, вершины которых расположены в данных точках, есть по крайней мере один, чья площадь не превосходит $\frac{1}{8}$. Обобщите этот результат.
Решение:
Легко показать, что в прямоугольнике любые три точки ограничивают треугольник, площадь которого не превосходит половины площади данного прямоугольника. (Мы можем, если потребуется, сначала сжать наш прямоугольник так, чтобы данный треугольник оказался в него вписанным. Затем можно разбить получившийся прямоугольник на меньшие прямоугольники так, чтобы наш треугольник покрывал не больше половины каждого из этих маленьких прямоугольников.)
Далее, разделим наш единичный квадрат на четыре равных меньших квадратика. По крайней мере в одном из таких квадратиков (включая границу) должно оказаться не менее 3 наших точек. Требуемый результат теперь немедленно следует из сказанного выше.
Обобщение: среди $2pq + 1$ точек единичного квадрата есть по крайней мере 3 точки, определяющие треугольник, площадь которого не превосходит $\frac{1}{2pq}$. Действительно, разобьем наш квадрат на $pq$ конгруэнтных прямоугольников с помощью $p - 1$ горизонтальной и $q - 1$ вертикальной прямой. Далее применим утверждение первого абзаца.
Пусть в единичном квадрате задано 9 произвольных точек. Покажите, что среди всех треугольников, вершины которых расположены в данных точках, есть по крайней мере один, чья площадь не превосходит $\frac{1}{8}$. Обобщите этот результат.
Решение:
Легко показать, что в прямоугольнике любые три точки ограничивают треугольник, площадь которого не превосходит половины площади данного прямоугольника. (Мы можем, если потребуется, сначала сжать наш прямоугольник так, чтобы данный треугольник оказался в него вписанным. Затем можно разбить получившийся прямоугольник на меньшие прямоугольники так, чтобы наш треугольник покрывал не больше половины каждого из этих маленьких прямоугольников.)
Далее, разделим наш единичный квадрат на четыре равных меньших квадратика. По крайней мере в одном из таких квадратиков (включая границу) должно оказаться не менее 3 наших точек. Требуемый результат теперь немедленно следует из сказанного выше.
Обобщение: среди $2pq + 1$ точек единичного квадрата есть по крайней мере 3 точки, определяющие треугольник, площадь которого не превосходит $\frac{1}{2pq}$. Действительно, разобьем наш квадрат на $pq$ конгруэнтных прямоугольников с помощью $p - 1$ горизонтальной и $q - 1$ вертикальной прямой. Далее применим утверждение первого абзаца.
