Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13313
2023-08-14 
Квадрат и треугольник равной площади вписаны в некоторый полукруг, причем одна из сторон треугольника совпадает с диаметром этого полукруга. Покажите, что центр окружности, вписанной в данный треугольник, лежит на одной из сторон данного квадрата.
Решение:
I. Пусть диаметр полукруга с центром в точке $O$ равен $2R$. Сторона вписанного квадрата равна ${2 \sqrt{5}R}{5}$. Если $A$ и $B$ - вершины квадрата, лежащие на данной полуокружности, то длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на $OB$, равна $u = \frac{4R}{5}$. Наш треугольник, очевидно, прямоуголен. Если мы опустим из его прямого угла высоту $h$ на гипотенузу $2R$, то в силу равенства площадей $u = h$. Далее, если центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на стороне квадрата и если $d$ - расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то
$d^{2} = r^{2} + \frac{R^{2}}{5} = R^{2} - 2Rr$,
где $r$ - радиус вписанной окружности. Следовательно, $r = R \left ( \frac{3 \sqrt{5}}{5} - 1 \right )$. Но в прямоугольном треугольнике $h = 2r + \frac{r^{2}}{R}$, откуда $h = \frac{4R}{5} = u$, как и было показано выше.
II. Введем декартову систему координат так, чтобы наша полуокружность задавалась уравнением $x^{2} + y^{2} = 1, y \geq 0$. Тогда $\left ( \pm \frac{1}{ \sqrt{5}}, \frac{2}{ \sqrt{5}} \right )$ - координаты вершин, а $\frac{4}{5}$ - площадь вписанного квадрата. Пусть $A = (-1, 0)$ и $B = (1, 0)$. У данного вписанного треугольника $ABC$ координаты вершины $C$ равны $\left ( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right )$ или $\left ( - \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right )$. Возьмем $C = \left ( \frac{3}{5} , \frac{4}{5} \right )$. Тогда $\sin A = \cos B = \frac{1}{ \sqrt{5}}, \cos A = \sin B = \frac{2}{ \sqrt{5}}, tg \frac{A}{2} = \sqrt{5} - 2$ и $tg \frac{B}{2} = \frac{ \sqrt{5} - 1}{2}$. Точка пересечения $\left [ \frac{1}{ \sqrt{5}}, \frac{3 - \sqrt{5}}{ \sqrt{5}} \right ]$ прямых $y = tg \frac{A}{2} \cdot (x + 1)$ и $y = tg \frac{B}{2} \cdot (1 - x)$ совпадает с центром вписанной окружности и лежит на правой стороне квадрата. Аналогично, если $C = \left (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right )$, можно показать, что центр вписанной окружности лежит на левой стороне квадрата.
III. В любом прямоугольном треугольнике $ABC$ ($C = 90^{ \circ}$) выполняется соотношение $r = s - c$, где $r$ - радиус вписанной окружности, $s$ - полупериметр, а $c$ - гипотенуза. Следовательно,
$rs = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} = (s - a) (s - b)$.
Другими словами, площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.
В нашем случае каждая из двух вершин квадрата, расположенных на гипотенузе, делит ее симметрично на два отрезка, произведение которых равно площади данного квадрата.
Так как площади квадрата и треугольника равны между собой, одна из вершин квадрата совпадает с точкой касания вписанной окружности и гипотенузы. Поэтому центр вписанной окружности лежит на одной из сторон данного квадрата.
Квадрат и треугольник равной площади вписаны в некоторый полукруг, причем одна из сторон треугольника совпадает с диаметром этого полукруга. Покажите, что центр окружности, вписанной в данный треугольник, лежит на одной из сторон данного квадрата.
Решение:
I. Пусть диаметр полукруга с центром в точке $O$ равен $2R$. Сторона вписанного квадрата равна ${2 \sqrt{5}R}{5}$. Если $A$ и $B$ - вершины квадрата, лежащие на данной полуокружности, то длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на $OB$, равна $u = \frac{4R}{5}$. Наш треугольник, очевидно, прямоуголен. Если мы опустим из его прямого угла высоту $h$ на гипотенузу $2R$, то в силу равенства площадей $u = h$. Далее, если центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на стороне квадрата и если $d$ - расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то
$d^{2} = r^{2} + \frac{R^{2}}{5} = R^{2} - 2Rr$,
где $r$ - радиус вписанной окружности. Следовательно, $r = R \left ( \frac{3 \sqrt{5}}{5} - 1 \right )$. Но в прямоугольном треугольнике $h = 2r + \frac{r^{2}}{R}$, откуда $h = \frac{4R}{5} = u$, как и было показано выше.
II. Введем декартову систему координат так, чтобы наша полуокружность задавалась уравнением $x^{2} + y^{2} = 1, y \geq 0$. Тогда $\left ( \pm \frac{1}{ \sqrt{5}}, \frac{2}{ \sqrt{5}} \right )$ - координаты вершин, а $\frac{4}{5}$ - площадь вписанного квадрата. Пусть $A = (-1, 0)$ и $B = (1, 0)$. У данного вписанного треугольника $ABC$ координаты вершины $C$ равны $\left ( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right )$ или $\left ( - \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right )$. Возьмем $C = \left ( \frac{3}{5} , \frac{4}{5} \right )$. Тогда $\sin A = \cos B = \frac{1}{ \sqrt{5}}, \cos A = \sin B = \frac{2}{ \sqrt{5}}, tg \frac{A}{2} = \sqrt{5} - 2$ и $tg \frac{B}{2} = \frac{ \sqrt{5} - 1}{2}$. Точка пересечения $\left [ \frac{1}{ \sqrt{5}}, \frac{3 - \sqrt{5}}{ \sqrt{5}} \right ]$ прямых $y = tg \frac{A}{2} \cdot (x + 1)$ и $y = tg \frac{B}{2} \cdot (1 - x)$ совпадает с центром вписанной окружности и лежит на правой стороне квадрата. Аналогично, если $C = \left (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right )$, можно показать, что центр вписанной окружности лежит на левой стороне квадрата.
III. В любом прямоугольном треугольнике $ABC$ ($C = 90^{ \circ}$) выполняется соотношение $r = s - c$, где $r$ - радиус вписанной окружности, $s$ - полупериметр, а $c$ - гипотенуза. Следовательно,
$rs = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} = (s - a) (s - b)$.
Другими словами, площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.
В нашем случае каждая из двух вершин квадрата, расположенных на гипотенузе, делит ее симметрично на два отрезка, произведение которых равно площади данного квадрата.
Так как площади квадрата и треугольника равны между собой, одна из вершин квадрата совпадает с точкой касания вписанной окружности и гипотенузы. Поэтому центр вписанной окружности лежит на одной из сторон данного квадрата.
