Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13311
2023-08-14 
Могут ли величины $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ одновременно принимать рациональные значения для какого-нибудь $\theta$ из интервала $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$?
Решение:
Положим $\sqrt{ \sin \theta} = \frac{a}{b}$ и $\sqrt{ \cos \theta } = \frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ - положительные целые числа; тогда
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = \frac{a^{4}}{b^{4}} + \frac{c^{4}}{d^{4}}$.
Отсюда, используя соотношение
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,
мы получим
$(bd)^{4} = (ad)^{4} + (bc)^{4}$.
Но это неравенство не выполняется, поскольку уравнение $x^{4} + y^{4} = z^{4}$ не имеет положительных целых решений.
Следовательно, $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ не могут одновременно принимать рациональные значения.
Могут ли величины $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ одновременно принимать рациональные значения для какого-нибудь $\theta$ из интервала $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$?
Решение:
Положим $\sqrt{ \sin \theta} = \frac{a}{b}$ и $\sqrt{ \cos \theta } = \frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ - положительные целые числа; тогда
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = \frac{a^{4}}{b^{4}} + \frac{c^{4}}{d^{4}}$.
Отсюда, используя соотношение
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,
мы получим
$(bd)^{4} = (ad)^{4} + (bc)^{4}$.
Но это неравенство не выполняется, поскольку уравнение $x^{4} + y^{4} = z^{4}$ не имеет положительных целых решений.
Следовательно, $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ не могут одновременно принимать рациональные значения.
