Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13310
2023-08-14 
С характерным для него упорством профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо пытается доказать следующую теорему: если в треугольнике $ABC$ ортоцентр $H$, центр $I$ вписанной и центр $O$ описанной окружностей образуют равносторонний треугольник, то
$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
Прекратите мучения профессора, показав, что, во-первых, треугольник $HIO$ не может быть равносторонним и, во-вторых, что если выполняется соотношение $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$, то треугольника $HIO$ вообще не существует.
Решение:
Если бы треугольник $HIO$ был равносторонним, то выполнялись бы соотношения
$OI^{2} = OH^{2}$, (1)
$OI^{2} = IH^{2}$. (2)
Пусть $R, \rho, r$ - соответственно радиусы описанной, вписанной окружностей и окружности, вписанной в треугольник $H_{1}H_{2}H_{3}$, образованный точками касания вписанной окружности исходного треугольника с его сторонами. Известно, что
$OI^{2} = R^{2} - 2R \rho$,
$IH^{2} = 2 \rho^{2} - 2Rr$.
$OH^{2} = R^{2} - 4Rr$.
Следовательно, из (1) вытекает, что $2r = \rho$, а из (2) - что $R^{2} = 2R \rho + 2 \rho^{2} - R \rho = R \rho + 2 \rho^{2}$. Но $\rho \leq \frac{R}{2}$, причем равенство достигается только в равностороннем треугольнике $ABC$. Значит,
$R \rho + 2 \rho^{2} \leq \frac{R^{2}}{2} + \frac{2R^{2}}{4} = R^{2}$.
Таким образом, треугольник $ABC$ равносторонний. Но в этом случае $HIO$ - вовсе не треугольник, поскольку все три точки $H, I$ и $O$ совпадают.
Далее, поскольку $\sum \cos A = 1 + \frac{ \rho}{R}$, мы получаем $\rho = \frac{R}{2}$. Следовательно, треугольник $ABC$ равносторонний и $H = I= O$.
С характерным для него упорством профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо пытается доказать следующую теорему: если в треугольнике $ABC$ ортоцентр $H$, центр $I$ вписанной и центр $O$ описанной окружностей образуют равносторонний треугольник, то
$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
Прекратите мучения профессора, показав, что, во-первых, треугольник $HIO$ не может быть равносторонним и, во-вторых, что если выполняется соотношение $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$, то треугольника $HIO$ вообще не существует.
Решение:
Если бы треугольник $HIO$ был равносторонним, то выполнялись бы соотношения
$OI^{2} = OH^{2}$, (1)
$OI^{2} = IH^{2}$. (2)
Пусть $R, \rho, r$ - соответственно радиусы описанной, вписанной окружностей и окружности, вписанной в треугольник $H_{1}H_{2}H_{3}$, образованный точками касания вписанной окружности исходного треугольника с его сторонами. Известно, что
$OI^{2} = R^{2} - 2R \rho$,
$IH^{2} = 2 \rho^{2} - 2Rr$.
$OH^{2} = R^{2} - 4Rr$.
Следовательно, из (1) вытекает, что $2r = \rho$, а из (2) - что $R^{2} = 2R \rho + 2 \rho^{2} - R \rho = R \rho + 2 \rho^{2}$. Но $\rho \leq \frac{R}{2}$, причем равенство достигается только в равностороннем треугольнике $ABC$. Значит,
$R \rho + 2 \rho^{2} \leq \frac{R^{2}}{2} + \frac{2R^{2}}{4} = R^{2}$.
Таким образом, треугольник $ABC$ равносторонний. Но в этом случае $HIO$ - вовсе не треугольник, поскольку все три точки $H, I$ и $O$ совпадают.
Далее, поскольку $\sum \cos A = 1 + \frac{ \rho}{R}$, мы получаем $\rho = \frac{R}{2}$. Следовательно, треугольник $ABC$ равносторонний и $H = I= O$.
