Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13307
2023-08-14 
Разрежьте правильный двенадцатиугольник на квадраты и равносторонние треугольники.
Пусть $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{12}$ - последовательные вершины правильного двенадцатиугольника. Что можно сказать о пересечении диагоналей $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$?
Решение:
Опишем вокруг данного двенадцатиугольника окружность. Тогда станет очевидным, что девять диагоналей, исходящих из любой вершины, делят угол при вершине, равный $150^{ \circ}$, на 10 равных углов по $15^{ \circ}$ каждый.
Проведем каждую из диагоналей $P_{1}P_{6}, P_{2}P_{9}, P_{3}P_{8}, P_{4}P_{11}, P_{5}P_{10}, P_{7}P_{12}$ до пересечения с диагоналями, исходящими из соседних вершин. Углы $P_{4}P_{3}P_{8}, P_{3}P_{4}P_{11}$ и и т. д. равны $60^{ \circ}$; поэтому треугольники, которые опираются на 6 чередующихся (через одну) сторон нашего двенадцатиугольника, - равносторонние. Отсюда следует, что вершины данного многоугольника служат вершинами квадратов, построенных на остальных 6 сторонах (так как углы $P_{2}P_{3}P_{8}, P_{3}P_{2}P_{9}$ и т. д. равны $90^{ \circ}$). Четвертые стороны таких квадратов ограничивают правильный шестиугольник, который очевидным образом можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Таким образом, наш двенадцатиугольник удается разрезать на 12 конгруэнтных равносторонних треугольников и 6 конгруэнтных квадратов.
Каждый из углов $P_{1}P_{12}P_{4}$, и $P_{12}P_{4}P_{9}$ равен $45^{ \circ}$, так что прямые $P_{1}P_{9}$ и $P_{4}P_{12}$ совпадают с диагоналями квадрата. $P_{2}P_{11}$ представляет собой ось симметрии равностороннего выпуклого шестиугольника, образованного двумя равносторонними треугольниками и квадратом. Следовательно, $P_{2}P_{11}$ проходит через центр данного квадрата. Таким образом, прямые $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$ пересекаются в одной точке.
Разрежьте правильный двенадцатиугольник на квадраты и равносторонние треугольники.
Пусть $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{12}$ - последовательные вершины правильного двенадцатиугольника. Что можно сказать о пересечении диагоналей $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$?
Решение:
Опишем вокруг данного двенадцатиугольника окружность. Тогда станет очевидным, что девять диагоналей, исходящих из любой вершины, делят угол при вершине, равный $150^{ \circ}$, на 10 равных углов по $15^{ \circ}$ каждый.
Проведем каждую из диагоналей $P_{1}P_{6}, P_{2}P_{9}, P_{3}P_{8}, P_{4}P_{11}, P_{5}P_{10}, P_{7}P_{12}$ до пересечения с диагоналями, исходящими из соседних вершин. Углы $P_{4}P_{3}P_{8}, P_{3}P_{4}P_{11}$ и и т. д. равны $60^{ \circ}$; поэтому треугольники, которые опираются на 6 чередующихся (через одну) сторон нашего двенадцатиугольника, - равносторонние. Отсюда следует, что вершины данного многоугольника служат вершинами квадратов, построенных на остальных 6 сторонах (так как углы $P_{2}P_{3}P_{8}, P_{3}P_{2}P_{9}$ и т. д. равны $90^{ \circ}$). Четвертые стороны таких квадратов ограничивают правильный шестиугольник, который очевидным образом можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Таким образом, наш двенадцатиугольник удается разрезать на 12 конгруэнтных равносторонних треугольников и 6 конгруэнтных квадратов.
Каждый из углов $P_{1}P_{12}P_{4}$, и $P_{12}P_{4}P_{9}$ равен $45^{ \circ}$, так что прямые $P_{1}P_{9}$ и $P_{4}P_{12}$ совпадают с диагоналями квадрата. $P_{2}P_{11}$ представляет собой ось симметрии равностороннего выпуклого шестиугольника, образованного двумя равносторонними треугольниками и квадратом. Следовательно, $P_{2}P_{11}$ проходит через центр данного квадрата. Таким образом, прямые $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$ пересекаются в одной точке.
