Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13304
2023-08-14 
Некоторый четырехугольник площади $Q$ разделен своими диагоналями на 4 треугольника, площади которых равны соответственно $A, B, C$ и $D$. Покажите, что
$A \cdot B \cdot C \cdot D = \frac{(A +B)^{2} (B + C)^{2} (C + D)^{2} (D + A)^{2}}{Q^{4}}$.
Решение:
Площади треугольников равной высоты относятся друг к другу как длины соответствующих оснований. Поэтому, обозначив соответствующие площади и отрезки так же, как и на рисунке, мы получим
$\frac{A}{A + B} = \frac{m}{m + n} = \frac{D}{C+D} = \frac{A+D}{A+B+C+D} = \frac{D+A}{Q}$.
Аналогично
$\frac{B}{B+C} = \frac{A+B}{Q}; \frac{C}{C+D} = \frac{B+C}{Q}; \frac{D}{D+A} = \frac{C+D}{Q}$.
Перемножив между собой данные четыре равенства, мы и придем к нужному соотношению:
$ABCD = \frac{(A + B)^{2}(B + C)^{2} + (C + D)^{2}(D + A)^{2}}{Q^{4}}$.
Некоторый четырехугольник площади $Q$ разделен своими диагоналями на 4 треугольника, площади которых равны соответственно $A, B, C$ и $D$. Покажите, что
$A \cdot B \cdot C \cdot D = \frac{(A +B)^{2} (B + C)^{2} (C + D)^{2} (D + A)^{2}}{Q^{4}}$.
Решение:
Площади треугольников равной высоты относятся друг к другу как длины соответствующих оснований. Поэтому, обозначив соответствующие площади и отрезки так же, как и на рисунке, мы получим
$\frac{A}{A + B} = \frac{m}{m + n} = \frac{D}{C+D} = \frac{A+D}{A+B+C+D} = \frac{D+A}{Q}$.
Аналогично
$\frac{B}{B+C} = \frac{A+B}{Q}; \frac{C}{C+D} = \frac{B+C}{Q}; \frac{D}{D+A} = \frac{C+D}{Q}$.
Перемножив между собой данные четыре равенства, мы и придем к нужному соотношению:
$ABCD = \frac{(A + B)^{2}(B + C)^{2} + (C + D)^{2}(D + A)^{2}}{Q^{4}}$.
