Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13301
2023-08-14 
Покажите, что в прямоугольном треугольнике, стороны которого выражаются целыми числами, один из катетов кратен 3.
Решение:
Так называемая «малая теорема Ферма» утверждает, что если $p$ - простое число, а $m$ не делится на $p$, то $m^{p-1} \equiv 1 (mod p)$. И соотношение $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ можно записать в виде
$(a^{3-1} - 1) + (b^{3-1} - 1) = c^{2} - 2 = (c^{3-1} - 1) - 1$.
Если бы ни $a$, ни $b$ не делились на 3, то каждое из слагаемых, стоящих в левой части нашего равенства, делилось бы на 3. Однако правая часть ни при каком целом $c$ не делится на 3. Следовательно, по крайней мере одно из чисел $a, b$ должно быть кратно 3.
Покажите, что в прямоугольном треугольнике, стороны которого выражаются целыми числами, один из катетов кратен 3.
Решение:
Так называемая «малая теорема Ферма» утверждает, что если $p$ - простое число, а $m$ не делится на $p$, то $m^{p-1} \equiv 1 (mod p)$. И соотношение $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ можно записать в виде
$(a^{3-1} - 1) + (b^{3-1} - 1) = c^{2} - 2 = (c^{3-1} - 1) - 1$.
Если бы ни $a$, ни $b$ не делились на 3, то каждое из слагаемых, стоящих в левой части нашего равенства, делилось бы на 3. Однако правая часть ни при каком целом $c$ не делится на 3. Следовательно, по крайней мере одно из чисел $a, b$ должно быть кратно 3.
