Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13295
2023-08-14 
Через внутреннюю точку $P$ треугольника $ABC$ проведем прямые, параллельные его сторонам. При этом каждая сторона разобьется на три отрезка. Обозначим средние отрезки сторон $a, b$ и $c$ соответственно через $a^{ \prime}, b^{ \prime}$ и $c^{ \prime}$. Покажите, что
$\frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} = 1$.
Решение:
Рассмотрев параллелограммы и подобные треугольники, изображенные на рисунке, мы можем составить следующие пропорции: $a^{ \prime} : a = b_{1} : b; a^{ \prime}: a = c_{2} : c; b^{ \prime} : b = c_{1} : c; b^{ \prime} : b = a_{2} : a; c^{ \prime} : c = b_{2} : b; c^{ \prime} : c = a_{1} : a$. Эти равенства вместе с тождествами $a^{ \prime} : a = a^{ \prime} : a; b^{ \prime} : b = b^{ \prime} : b; c^{ \prime} : c = c^{ \prime} : c$ составляют в совокупности систему из девяти уравнений.
Сложив все девять уравнений, мы получим
$3 \left ( \frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} \right ) = \frac{a_{1} + a^{ \prime} + a_{2}}{a} + \frac{b_{1} + b^{ \prime} + b_{2}}{b} + \frac{c_{1} + c^{ \prime} + c_{2}}{c} = 3$.
Следовательно, $\frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} = 1$.
Через внутреннюю точку $P$ треугольника $ABC$ проведем прямые, параллельные его сторонам. При этом каждая сторона разобьется на три отрезка. Обозначим средние отрезки сторон $a, b$ и $c$ соответственно через $a^{ \prime}, b^{ \prime}$ и $c^{ \prime}$. Покажите, что
$\frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} = 1$.
Решение:
Рассмотрев параллелограммы и подобные треугольники, изображенные на рисунке, мы можем составить следующие пропорции: $a^{ \prime} : a = b_{1} : b; a^{ \prime}: a = c_{2} : c; b^{ \prime} : b = c_{1} : c; b^{ \prime} : b = a_{2} : a; c^{ \prime} : c = b_{2} : b; c^{ \prime} : c = a_{1} : a$. Эти равенства вместе с тождествами $a^{ \prime} : a = a^{ \prime} : a; b^{ \prime} : b = b^{ \prime} : b; c^{ \prime} : c = c^{ \prime} : c$ составляют в совокупности систему из девяти уравнений.
Сложив все девять уравнений, мы получим
$3 \left ( \frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} \right ) = \frac{a_{1} + a^{ \prime} + a_{2}}{a} + \frac{b_{1} + b^{ \prime} + b_{2}}{b} + \frac{c_{1} + c^{ \prime} + c_{2}}{c} = 3$.
Следовательно, $\frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} = 1$.
