Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13292
2023-08-14 
У равнобедренного треугольника $ABC$ угол при вершине $C = 20^{ \circ}$. На боковых сторонах $AC$ и $BC$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что угол $ABN = 60^{ \circ}$, а угол $BAN = 50^{ \circ}$. Докажите, не прибегая к тригонометрии, что угол $BMN = 30^{ \circ}$.
Решение:
Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, или $180^{ \circ}, \angle CBA = \angle CAB = 80^{ \circ}, \angle CBM = 20^{ \circ}$ и $\angle BAN = 50^{ \circ} = \angle BNA$ (так что $BN = AB$). Проведем $MR$ параллельно $AB$ и соединим точки $A$ и $R$ отрезком $AR$, пересекающим $BM$ в точке $D$. Проведем $ND$. В силу симметрии треугольники $ABD$ и $DRM$ - равнобедренные; значит, их углы соответственно равны между собой. Далее, $BD = AB = BN$, откуда $\angle BND = \angle BDN = 80^{ \circ}$ и $\angle NDR = 40^{ \circ}$. Теперь заметим, что $\angle MRC = 80^{ \circ}$; следовательно, $\angle NRD = 40^{ \circ} = \angle NDR$ и $ND = NR$. Поскольку $DM = MR$, отрезок $NM$ перпендикулярен отрезку $DR$ и делит его пополам. Таким образом, $\angle BMN = \frac{60^{ \circ}}{2} = 30^{ \circ}$.
У равнобедренного треугольника $ABC$ угол при вершине $C = 20^{ \circ}$. На боковых сторонах $AC$ и $BC$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что угол $ABN = 60^{ \circ}$, а угол $BAN = 50^{ \circ}$. Докажите, не прибегая к тригонометрии, что угол $BMN = 30^{ \circ}$.
Решение:
Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, или $180^{ \circ}, \angle CBA = \angle CAB = 80^{ \circ}, \angle CBM = 20^{ \circ}$ и $\angle BAN = 50^{ \circ} = \angle BNA$ (так что $BN = AB$). Проведем $MR$ параллельно $AB$ и соединим точки $A$ и $R$ отрезком $AR$, пересекающим $BM$ в точке $D$. Проведем $ND$. В силу симметрии треугольники $ABD$ и $DRM$ - равнобедренные; значит, их углы соответственно равны между собой. Далее, $BD = AB = BN$, откуда $\angle BND = \angle BDN = 80^{ \circ}$ и $\angle NDR = 40^{ \circ}$. Теперь заметим, что $\angle MRC = 80^{ \circ}$; следовательно, $\angle NRD = 40^{ \circ} = \angle NDR$ и $ND = NR$. Поскольку $DM = MR$, отрезок $NM$ перпендикулярен отрезку $DR$ и делит его пополам. Таким образом, $\angle BMN = \frac{60^{ \circ}}{2} = 30^{ \circ}$.
