Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13287
2023-08-14 
Пусть заданы две взаимно перпендикулярные прямые и пусть какой-нибудь эллипс перемещается по плоскости, постоянно касаясь обеих прямых. Определите, какую линию опишет при этом центр эллипса.
Решение:
Рассмотрим канонически расположенный эллипс $b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}$. Геометрическое место точек пересечения двух взаимно перпендикулярных касательных к этому эллипсу представляет собой окружность $x^{2}+y^{2}= a^{2} + b^{2}$. Отсюда следует, что если мы зафиксируем две взаимно перпендикулярные прямые и будем перемещать эллипс по плоскости так, чтобы он их касался, то его центр будет все время отстоять от точки пересечения этих прямых на расстояние, равное $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$. Примем данные две прямые за оси координат, тогда центр нашего эллипса будет ближе всего расположен к этим осям в точках ($a, b$) и ($b, a$). Следовательно, при движении эллипса его центр опишет меньшую дугу окружности $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$, заключенную между этими точками. (Длина такой дуги равна
$\sqrt{a^{2} + b^{2}} arctg \frac{a^{2} - b^{2} }{2ab}$.)
Пусть заданы две взаимно перпендикулярные прямые и пусть какой-нибудь эллипс перемещается по плоскости, постоянно касаясь обеих прямых. Определите, какую линию опишет при этом центр эллипса.
Решение:
Рассмотрим канонически расположенный эллипс $b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}$. Геометрическое место точек пересечения двух взаимно перпендикулярных касательных к этому эллипсу представляет собой окружность $x^{2}+y^{2}= a^{2} + b^{2}$. Отсюда следует, что если мы зафиксируем две взаимно перпендикулярные прямые и будем перемещать эллипс по плоскости так, чтобы он их касался, то его центр будет все время отстоять от точки пересечения этих прямых на расстояние, равное $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$. Примем данные две прямые за оси координат, тогда центр нашего эллипса будет ближе всего расположен к этим осям в точках ($a, b$) и ($b, a$). Следовательно, при движении эллипса его центр опишет меньшую дугу окружности $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$, заключенную между этими точками. (Длина такой дуги равна
$\sqrt{a^{2} + b^{2}} arctg \frac{a^{2} - b^{2} }{2ab}$.)
