Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13278
2023-08-14 
Три отрезка длиной соответственно 3, 4 и 5 см соединяют внутреннюю точку $P$ равностороннего треугольника с его вершинами. Чему равна длина стороны этого треугольника?
Решение:
В треугольнике $ABC$ отношение данных трех отрезков равно $PC : PA : PB = 3:4: 5$. Построим равносторонний треугольник $PCF$ так, чтобы точки $P$ и $F$ находились по разные стороны от $AC$. Проведем отрезок $AF$. На продолжение отрезка $CP$ опустим из точки $A$ перпендикуляр $AE$. Заметим, что $\angle PCB = 60^{ \circ} - \angle PCA = \angle ACF$; поэтому треугольник $PCB$ равен треугольнику $FCA$, а $AF = BP = 5$. Значит, треугольник $APF$, прямоуголен, откуда $\angle APE = 180^{ \circ} - 60^{ \circ} - 90^{ \circ} = 30^{ \circ}$. Следовательно, $AE = 2$, а $EP = 2 \sqrt{З}$. Таким образом,
$AC = \sqrt{2^{2} + (3 + 2 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{25 + 12 \sqrt{3}} \approx 6,7664 см$.
Три отрезка длиной соответственно 3, 4 и 5 см соединяют внутреннюю точку $P$ равностороннего треугольника с его вершинами. Чему равна длина стороны этого треугольника?
Решение:
В треугольнике $ABC$ отношение данных трех отрезков равно $PC : PA : PB = 3:4: 5$. Построим равносторонний треугольник $PCF$ так, чтобы точки $P$ и $F$ находились по разные стороны от $AC$. Проведем отрезок $AF$. На продолжение отрезка $CP$ опустим из точки $A$ перпендикуляр $AE$. Заметим, что $\angle PCB = 60^{ \circ} - \angle PCA = \angle ACF$; поэтому треугольник $PCB$ равен треугольнику $FCA$, а $AF = BP = 5$. Значит, треугольник $APF$, прямоуголен, откуда $\angle APE = 180^{ \circ} - 60^{ \circ} - 90^{ \circ} = 30^{ \circ}$. Следовательно, $AE = 2$, а $EP = 2 \sqrt{З}$. Таким образом,
$AC = \sqrt{2^{2} + (3 + 2 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{25 + 12 \sqrt{3}} \approx 6,7664 см$.
