2023-08-14
Покажите, что в произвольном четырехугольнике середина отрезка, соединяющего середины диагоналей, совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон данного четырехугольника.
Решение:
Середины сторон произвольного четырехугольника $ABCD$ служат вершинами некоторого параллелограмма $MQNP$, а диагонали параллелограмма $PQ$ и $MN$, пересекаясь в точке $O$, делятся пополам. Рассмотрим теперь четырехугольник $ACDB$ со сторонами $AC, CD, DB$ и $BA$. Точки $M, N$ и $X, Y$ (середины диагоналей исходного четырехугольника) делят стороны четырехугольника $ACDB$ пополам. Значит, $MYNX$ - параллелограмм. Диагонали $MN$ и $XY$ этого параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам. Следовательно, середина отрезка $XY$ совпадает с серединой отрезка $MN$, то есть с точкой $O$.