2023-08-14
Найдите радиус круга, вписанного в криволинейный треугольник, у которого две стороны совпадают с катетами данного прямоугольного треугольника $ABC$, а третья сторона представляет собой полуокружность, построенную на гипотенузе $AB$, как на диаметре, и расположенную вне треугольника $ABC$.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат, оси которой направим вдоль катетов треугольника $ABC$. В этой системе координаты центра вписанного круга и центра заданной полуокружности равны соответственно $(r, r)$ и $\left ( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right )$, где $r$ - радиус искомого круга, а $a$ и $b$ - длины катетов треугольника $ABC$. Расстояние между центрами равно разности радиусов, то есть справедливо соотношение $\left (r - \frac{a}{2} \right )^{2} + \left (r - \frac{b}{2} \right )^{2} = \left ( \frac{c}{2} - r \right )^{2}$. Отсюда, воспользовавшись равенством $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, мы получим, что $r = a + b - c$. Другими словами, радиус искомого круга равен диаметру круга, вписанного в прямоугольный треугольник $ABC$.