Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13266
2023-08-14 
Докажите, что если в некотором треугольнике перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис внутренних углов этого треугольника, пересекаются в одной точке, то данный треугольник - равнобедренный.
Решение:
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Если из какой-нибудь внутренней точки треугольника опустить перпендикуляры на стороны, то суммы квадратов длин перемежающихся отрезков, на которые основания данных перпендикуляров разбивают стороны треугольника, будут равны между собой. Допустим теперь, что все тр и перпендикуляра, восставленные из точек пересечения биссектрис со сторонами треугольника $a, b, c$, пересекаются в одной точке; тогда
$\left ( \frac{ab}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{ca}{a + b} \right )^{2} = \left ( \frac{ca}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{ab}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{a + b} \right )^{2}$.
Объединяя члены с одинаковыми знаменателями, получим
$\frac{a^{2}(b-c)}{b + c} + \frac{b^{2}(c - a)}{c + a} + \frac{c^{2}(a - b)}{a + b} = 0$,
откуда
$(b - c)(c - a)(a - b) (a + b + c)^{2} = 0$.
Поскольку по крайней мере один из первых трех сомножителей равен нулю, наш треугольник равнобедренный.
Докажите, что если в некотором треугольнике перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис внутренних углов этого треугольника, пересекаются в одной точке, то данный треугольник - равнобедренный.
Решение:
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Если из какой-нибудь внутренней точки треугольника опустить перпендикуляры на стороны, то суммы квадратов длин перемежающихся отрезков, на которые основания данных перпендикуляров разбивают стороны треугольника, будут равны между собой. Допустим теперь, что все тр и перпендикуляра, восставленные из точек пересечения биссектрис со сторонами треугольника $a, b, c$, пересекаются в одной точке; тогда
$\left ( \frac{ab}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{ca}{a + b} \right )^{2} = \left ( \frac{ca}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{ab}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{a + b} \right )^{2}$.
Объединяя члены с одинаковыми знаменателями, получим
$\frac{a^{2}(b-c)}{b + c} + \frac{b^{2}(c - a)}{c + a} + \frac{c^{2}(a - b)}{a + b} = 0$,
откуда
$(b - c)(c - a)(a - b) (a + b + c)^{2} = 0$.
Поскольку по крайней мере один из первых трех сомножителей равен нулю, наш треугольник равнобедренный.
