Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13244
2023-07-28 
Докажите, что в произвольном треугольнике сумма синусов всех его углов не превосходит $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, причем равенство достигается только в случае равностороннего треугольника.
Решение:
Допустим, что максимум, который, очевидно, существует, достигается при двух неравных углах $A$ и $B$. Тогда сумма синусов равна
$\sin A + \sin B + \sin [180^{ \circ} - (A + B)] = 2 \sin \left ( \frac{A+B}{2} \right ) \cos \left ( \frac{A-B}{2} \right ) + \sin(A + B)$.
Но это выражение, очевидно, меньше того, которое получится, если мы эти два угла возьмем равными $\frac{A+B}{2}$, а именно $2 \sin \frac{A+B}{2} \cos 0^{ \circ} + \sin (A + B)$. Следовательно, максимум достигается, когда все углы равны, а его значение совпадает с $3 \sin 60^{ \circ} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
Докажите, что в произвольном треугольнике сумма синусов всех его углов не превосходит $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, причем равенство достигается только в случае равностороннего треугольника.
Решение:
Допустим, что максимум, который, очевидно, существует, достигается при двух неравных углах $A$ и $B$. Тогда сумма синусов равна
$\sin A + \sin B + \sin [180^{ \circ} - (A + B)] = 2 \sin \left ( \frac{A+B}{2} \right ) \cos \left ( \frac{A-B}{2} \right ) + \sin(A + B)$.
Но это выражение, очевидно, меньше того, которое получится, если мы эти два угла возьмем равными $\frac{A+B}{2}$, а именно $2 \sin \frac{A+B}{2} \cos 0^{ \circ} + \sin (A + B)$. Следовательно, максимум достигается, когда все углы равны, а его значение совпадает с $3 \sin 60^{ \circ} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
