Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13232
2023-07-20 
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы его вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 см и 5 см.
Решение:
Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности. Значит, $AB = 2 \cdot 5 = 10 см$.
Обозначим точки касания вписанной окружности с центром $O$ со сторонами $AB , BC$ и $AC$ треугольника, соответственно, через $K, N$ и $M$. Поскольку четырёхугольник $CMON$ является квадратом, $CN = CM =2$. Пусть $AM = x$, тогда из равенства прямоугольных треугольников $AMO$ и $AKO$ (по катету и гипотенузе) следует, что $AK = x$. Далее,
$BK = AB - AK =10- x, BN = BK =10- x$.
Запишем теорему Пифагора для $\Delta ABC$:
$100 =(x + 2)^{2} + (12 - x)^{2} \Leftrightarrow 2x^{2} - 20x + 48 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 10x + 24 = 0$;
$x =4$ или $x =6$.
При $x =4 \: AC =6 см, BC =8 см$; при $x =6 \: AC =8 см, BC =6 см$. Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычислим как полупроизведение катетов:
$S_{ \Delta ABC} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 см^{2}$.
Ответ. $24 см^{2}$.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы его вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 см и 5 см.
Решение:
Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности. Значит, $AB = 2 \cdot 5 = 10 см$.
Обозначим точки касания вписанной окружности с центром $O$ со сторонами $AB , BC$ и $AC$ треугольника, соответственно, через $K, N$ и $M$. Поскольку четырёхугольник $CMON$ является квадратом, $CN = CM =2$. Пусть $AM = x$, тогда из равенства прямоугольных треугольников $AMO$ и $AKO$ (по катету и гипотенузе) следует, что $AK = x$. Далее,
$BK = AB - AK =10- x, BN = BK =10- x$.
Запишем теорему Пифагора для $\Delta ABC$:
$100 =(x + 2)^{2} + (12 - x)^{2} \Leftrightarrow 2x^{2} - 20x + 48 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 10x + 24 = 0$;
$x =4$ или $x =6$.
При $x =4 \: AC =6 см, BC =8 см$; при $x =6 \: AC =8 см, BC =6 см$. Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычислим как полупроизведение катетов:
$S_{ \Delta ABC} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 см^{2}$.
Ответ. $24 см^{2}$.
