Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13229
2023-07-20 
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна половине стороны $BC$. Угол между $AM$ и высотой $AH$ равен $40^{ \circ}$. Найти углы треугольника $ABC$.
Решение:
Докажем сначала, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого она проведена - прямой.
Так как $CM = MA = MB$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ - равнобедренные. Значит, по теореме о сумме внутренних углов треугольника
$\angle MAB = \frac{180^{ \circ} - \angle AMB}{2}, \angle MAC = \frac{180^{ \circ} - \angle AMC}{2}$,
поэтому
$\angle BAC = \angle MAB + \angle MAC = 180^{ \circ} - \frac{ \angle AMB + \angle AMC}{2} = 180^{ \circ} - \frac{180^{ \circ}}{2} = 90^{ \circ}$.
Таким образом, $\Delta ABC$ - прямоугольный. Найдём его острые углы. Рассмотрим прямоугольный треугольник $HMA$. По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника
$\angle M=90^{ \circ} - 40^{ \circ} = 50^{ \circ}$.
Так как $\Delta AMB$ равнобедренный, то по теореме о сумме внутренних углов треугольника
$2 \angle MBA + 50^{ \circ} = 180^{ \circ} \Rightarrow \angle MBA = \frac{ 130^{ \circ}}{2} = 65^{ \circ}$.
По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника для $\Delta ABC$
$\angle ACB = 90^{ \circ} - 65^{ \circ} = 25^{ \circ}$.
Ответ. $90^{ \circ}; 65^{ \circ}; 25^{ \circ}$.
З а м е ч а н и е. При решении этой задачи мы доказали полезный факт: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого проведена медиана, прямой.
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна половине стороны $BC$. Угол между $AM$ и высотой $AH$ равен $40^{ \circ}$. Найти углы треугольника $ABC$.
Решение:
Докажем сначала, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого она проведена - прямой.
Так как $CM = MA = MB$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ - равнобедренные. Значит, по теореме о сумме внутренних углов треугольника
$\angle MAB = \frac{180^{ \circ} - \angle AMB}{2}, \angle MAC = \frac{180^{ \circ} - \angle AMC}{2}$,
поэтому
$\angle BAC = \angle MAB + \angle MAC = 180^{ \circ} - \frac{ \angle AMB + \angle AMC}{2} = 180^{ \circ} - \frac{180^{ \circ}}{2} = 90^{ \circ}$.
Таким образом, $\Delta ABC$ - прямоугольный. Найдём его острые углы. Рассмотрим прямоугольный треугольник $HMA$. По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника
$\angle M=90^{ \circ} - 40^{ \circ} = 50^{ \circ}$.
Так как $\Delta AMB$ равнобедренный, то по теореме о сумме внутренних углов треугольника
$2 \angle MBA + 50^{ \circ} = 180^{ \circ} \Rightarrow \angle MBA = \frac{ 130^{ \circ}}{2} = 65^{ \circ}$.
По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника для $\Delta ABC$
$\angle ACB = 90^{ \circ} - 65^{ \circ} = 25^{ \circ}$.
Ответ. $90^{ \circ}; 65^{ \circ}; 25^{ \circ}$.
З а м е ч а н и е. При решении этой задачи мы доказали полезный факт: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого проведена медиана, прямой.
